DIGRESSIONS 2

calcul de pi - le nombre d'or

retour


L'alphabet grec

alphabétagammadeltaepsilonzêtaêtathêta
abgdezhq
ABGDEZHQ
iotakappalambdamunuxiomicronpi
iklmnxop
IKLMNXOP
rosigmatauupsilonphikhipsioméga
rstujcyw
RSTUFCYW


Le calcul de p

du grec perijereia (periphereia, pherein porter, peri autour)
p = 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 4(126 décimales) :

3,141592654 Que j'aime à faire apprendre un nombre utile aux sages !
8979 Immortel Archimède, artiste ingénieur,
32384626 Qui de ton jugement peut priser la valeur ?
43383279 Pour moi, ton problème eut de pareils avantages.
50288 Jadis, mystérieux, un problème bloquait
4197169 Tout l'admirable procédé, l'oeuvre grandiose
399375 Que Pythagore découvrit aux anciens Grecs.
105820 O quadrature ! Vieux tourment du philosophe !
974944 Insoluble rondeur, trop longtemps vous avez
59230781640 Défié Pythagore et ses imitateurs. Comment intégrer l'espace plan circulaire ?
628620 Former un triangle auquel il équivaudra ?
8998 Nouvelle invention : Archimède inscrira
628034 Dedans un hexagone; appréciera son aire
825342117 Fonction du rayon. Pas trop ne s'y tiendra :
679 Dédoublera chaque élément antérieur ;
821480 Toujours de l'orbe calculée approchera ;
8651328 Définira limite; enfin, l'arc, le limiteur
2306647 De cet inquiétant cercle, ennemi trop rebelle !
93844 Professeur, enseignez son problème avec zèle !

calcul de pi
date méthode décimales exactes
Babylone -2000 3 + 1/8 = 3,125 1
Egypte (scribe Ahmès) - 2000 ? (16 / 9)2 = 3,160493827 1
Chine -1200 3 0
Bible -550 3 0
Archimède - 287 à - 212 traité de mesure du cercle, perdu, mais connu par l'intermédiaire de Al Biruni
entre 3 + 10/71 et 3 + 10/70 = 3,141851107
3
Hon Han Shu 130 - 1
Claude Ptolémée 90-168 377 / 120 = 3,141666667 3
3 + 8 / 60 + 30 / 602 = 3,141666667 4
Chung Hing 250 - 1
Wang Fau 250 142 / 45 = 3,155555556 1
Liu Hui 264 3.14159 5
Siddhanta 380 3 + 177 / 1250 = 3,1416 3
Tsu Chung Chih 480 ? 355 / 113 = 3,14159292 6
Aryabhata 499 3.14156 4
Brahmagupta 640 3.1622 1
Al-Khowarizmi 800 3.1416 3
Leonardo Fibonacci (Leonard de Pise) 1220 3.141818 3
Madhava
de Sangamagramma
1410 11
Al-Kashi 1429 3.141592654 14
Otho 1573 3.141592 6
Viete 1593 3.141592654 9
Romanus 1593 3.141592653589793 15
Van Ceulen 1596 3.14159265358979323846 20
1609 3.1415926535...3832795028 34
Grienberger 1630 3.1415926535...9 502884197 39
Adriaensz Métius 1650 355 / 113 = 3,14159292 6
Isaac Newton 1665 = 3.1415926535 897932 16
Sharp 1672 = 3.1415926535...9230781640 71 sur 72
James Gregory 1638-1675 arctan(x) = x - x3/3 + x5/5 - x7/7 ... = Sk=0... (-1)k x2k+1 / (2k + 1) 1 / (2n+1)
A2n = (AnBn)0.5 ; B2n = (2BnA2n) / (Bn + A2n)
Seki 1700 3.1415926535 10
John Machin 1706 p/4 = 4 arctan(1/5) - arctan(1/239)
(5 + i)4 x (-239 + i) = - 114 244 x (1+i) = 3,141592654
100
De Lagny 1719 Euler 1764
4 arctan(1/2) + 4 arctan(1/3) = 3.1415926535...1480865132
112 sur 127
Takebe Katahiro 1723 polygone 1024 côtés, ; 3.1415926535...0288419716 41
Matsunaga 1739 3.1415926535...6939937510 50
Euler 1760? 20 décimales calculées en 1 heure
Jurij Vega 1789 Euler 1755
p = 20 arctan(1/7) + 8 arctan(3/79) = 3.1415926535...5058223172
137 sur 140
Callet 1795 3.1415926535...5940812848 152 sur 154
Riemann Bernhard 1826-1866 (p/90)4 = 1 + 1 / 24 + 1 / 34 + 1 / 44 + 1 / 54 + 1 / n 4
Rutherford 1841 Euler 1764
16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/70) + 4 arctan(1/99) = 3.1415926535...5940812848
152 sur 208
Strassnitsky, Dahse 1844 Strassnitsky 1844
4 arctan(1/2) + 4 arctan(1/5) + 4 arctan(1/8) = 3.1415926535...5493038196
200 sur 205
Clausen 1847 Hutton 1776
8 arctan(1/3) + 4 arctan(1/7) = 3.1415926535...6527120190
248 sur 250
Lehmann 1853 3.1415926535...5648566923 261
Rutherford 1853 Machin 1706
16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239) = 3.1415926535...8193261179
440
Williams Shanks 1873 3.1415926535...4308602139 528 sur 707
Störmer 1896 p/4 = 44 arctan(1/57) + 7 arctan(1/239) - 12 arctan(1/682) + 24 arctan(1/12 943)
Srinivasa Ramanujan 1910 9801 / (2 x 20.5 Sn=0... (4n)! / (n!)4 x (1103 + 26390n) / (4 x 99)Dn)
1/(2 x 20.5 / 9801 Sn=0... (4k)!(1103 + 26 390k) / ((k!)4 3964k)
Ferguson 1945 Loney 1893
12 arctan(1/4) + 4 arctan(1/20) + 4 arctan(1/1985) = 3.1415926535...4639522473
539
1947 3.1415926535...4526356082 620
1948 3.1415926535...4201995611 710
Ferguson et Wrench 1948 3.1415926535...5950244594 808
Smith et Wrench 1949 3.1415926535...4541506959 1 120
Reitwiesner sur l'ENIAC 1949 Machin 1706
16 arctan(1/5) - 4 arctan(1/239) = 3.1415926535...5709825822
2 037
Nicholson et Jeenel 1954 3.1415926535...9409071864 3 092
Felton 1957 Klingenstierna 1730
32 arctan(1/10) - 4 arctan(1/239) - 16 arctan(1/515) = 3.1415926535...6220415420
7 840
Genuys janv-58 3.1415926535...1409387001 10 000
Felton mai-58 Gauss 1863
48 arctan(1/18) + 32 arctan(1/57) - 20 arctan(1/239) = 3.1415926535...7428802109
10 021
Jean Guilloud 1959 3.1415926535...8014378433 16 157
x - 3.1415926535...3366978240 39 600
Shanks et Wrench 1961 Störmer 1896 + formule de Gauss
24 arctan(1/8) + 8 arctan(1/57) + 4 arctan(1/239) = 3,141592654
100 265
Jean Guilloud et Filliatre 1966 250 000
Jean Guilloud et Dichampt 1967 500 000
Jean Guilloud et Martine Bouyer 5/1973 3.1415926535...5779458151 1 001 250
Miyoshi et Yasumasa Kanada 1981 - 2 000 036
Takano 1982 p/4 = 12 arctan(1/49) + 32 arctan(1/57) - 5 arctan(1/239) + 12 arctan(1/110 443) = 3,141592654
Jean Guilloud 1982 Störmer 1896 + formule de Gauss
24 arctan(1/8) + 8 arctan(1/57) + 4 arctan(1/239) = 3,141592654
2 000 050
Tamura 1982 8 388 576
Yasumasa Kanada, Yoshino et Tamura 1982 16 777 206
Gosper 1985 suites de Ramanujan 17 526 200
Yasumasa Kanada 1985 536 870 000
Bailey 1/1986 algorithmes d' ordre 2 et d' ordre 4 de Borwein algorithmes d' ordre 2 et d' ordre 4 de Borwein 29 360 111
Yasumasa Kanada et Tamura 10/1986 67 108 839
Yasumasa Kanada, Tamura et Kobo 1/1987 134 217 700
Yasumasa Kanada et Tamura 1/1988 201 326 551
Gregory et David Chudnovsky 5/1989 suites de type Ramanujan
1/12 Sn=0... (-1)k(6k)!(13591409 + 545140134k) / ((3k)!(k!)36403203k+3/2)
480 000 000
6/1989 525 229 270
Yasumasa Kanada et Tamura 7/1989 algorithmes d' ordre 2 et d' ordre 4 de Borwein 536 870 898
Gregory et David Chudnovsky 8/1989 suites de type Ramanujan 1 011 196 691
Yasumasa Kanada et Tamura 11/1989 algorithmes d' ordre 2 et d' ordre 4 de Borwein 1 073 741 799
Gregory et David Chudnovsky 8/1991 Suites de type Ramanujan 2 260 000 000
5/1994 4 044 000 000
David Bailey, Peter Borwein
et Simon Plouffe
1995 série BBP : calcul de la nième décimale
p/4 = Sk=0... = 1/16k ( 4 / (8k + 1) - 2 / (8k + 4) - 1 / (8k + 5) - 1 / (8k + 6))
Yasumasa Kanada 6/1995 algorithmes d' ordre 2 et d' ordre 4 de Borwein 4 294 967 286
10/1995 6 442 450 938
Yasumasa Kanada et Daisuke Takahashi 7/1997 3.1415926535...8614212904 51 539 609 552
4/1999 Méthode de Brent/Salamin et algorithme convergent Borwein de 4e ordre 68 719 470 000
20/9/1999 51.539.600.000e décimales
70532 46569 86142 1290 4
206 158 430 000
... 2001 série BBP : calcul de la 4 000 000 000 000 000e décimale
2002 1 241 100 000 000

record
1 241 100 000 000 de décimales en novembre 2002 sur un supercalculateur parallèle Hitachi (64 noeuds, 1 téraoctet de mémoire centrale, 2 000 milliards d'opérations en virgule flottante par seconde, 600 heures de calcul ).
Formules de Machin 1706 : p/4 = 4 ATAN(1/5) - ATAN(1/239) = 3.1415926535...3421170679
(5 + i)4 x (-239 + i) = - 114 244 x (1+i) ;
Nakano 1982 : p/4 = 12 arctan(1/49) + 32 arctan(1/57) - 5 arctan(1/239) + 12 arctan(1/110 443) ;
Störmer 1896 : p/4 = 44 arctan(1/57) + 7 arctan(1/239) - 12 arctan(1/682) + 24 arctan(1/12 943).

voir le magnifique site de B Gourevitch sur le sujet
pour 70 000 000 000 de décimales, voir http://ja0hxv.calico.jp/pai/epivalue.html,
et si vous avez besoin d'un rapporteur


j, le nombre d'Or

Le Nombre d'Or, j, est le rapport de l'extrême et du moyen, selon Euclide
j = (1 + 50.5) / 2 = 1,61803 39887 49894 84820 45868 34365...


AX / BX = 1 / (AB / (AX - 1)) = AB / AX = j

Fra Luca Pacioli l'appelle "la divine proportion" dans son livre illustré par Léonard de Vinci (qui ne respecte d'ailleurs pas cette proportion dans son célèbre dessin).
Selon Hérodote, parlant de la pyramide de Khéops,
"le carré construit sur la hauteur verticale égalait exactement la surface de chacune des faces triangulaires (L'Enquête, Livre II).
Pour Euclide, dans les Eléments, livre VI, le nombre d'or est défini géométriquement :
"une droite est dite coupée en extrême et moyenne raison quand, comme elle est toute entière relativement au plus grand segment, ainsi est le plus grand relativement au plus petit.

En utilisant les suites de Fibonacci (Leonardo Pisano, Liber Abaci :
1, 2 (1+1), 3 (1+2), 5 (2+3), 8 (3+5), 13 (5+8), 21 (8+13), etc.
on s'aperçoit que les quotients 3/2, 5/3, 8/5, 13/8, 21/13, 34/21, etc. tendent vers le Nombre d'Or

A voir, le tracé du pentagramme.


Les liaisons